MARCO TEORICO

¿que es ecuación cuadrática?

 Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales.  Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno.  Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.

Definición:  Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.
Ejemplos:  x2 - 9 = 0;  x2 - x - 12 = 0;  2x2 - 3x - 4 = 0


La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación.  Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas.  El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver.  En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Factorización:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero.  Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores.  Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplos para discusión en clase:  Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

1)  x2 - 4x = 0

2)  x2 - 4x = 12

3)  12x2 - 17x + 6 = 0

Nota:  No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros.  Por eso tenemos que conocer otros métodos.

Raíz cuadrada:

Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Propiedad de la raíz cuadrada:  Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a :

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada:

1)  x2 - 9 = 0

2)  2x2 - 1 = 0

3)  (x - 3)2 = -8

Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto  cuando conocemos los primeros dos.   Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?:  El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio.   Esto es;  el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son

 x2 + bx  es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado.  Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

1)  x2 + 6x + 7 = 0

2)  x2 – 10x + 5 = 0

3)  2x2 - 3x - 4 = 0

Fórmula cuadrática:

La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

La expresión:

conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones.  La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.

Valor de:

Tipo de solución

positivo

dos soluciones reales

cero

una solución real

negativo

dos soluciones imaginarias

Ejemplos para discusión en clase:  Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática:

1)  x2 + 8x + 6 = 0

2)  9x2 + 6x + 1 = 0

3)  5x2 - 4x + 1 = 0

Nota:  Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.

Práctica:  Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1)  x2 - x - 20 = 0    (por factorización)

2)  x2 - 8 = 0           (por raíz cuadrada)

3)  x2 - 4x + 5 = 0   (completando el cuadrado)

4)  9x2 + 6x = 1      (fórmula cuadrática)

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Bibliografía:

aplicaciones de ecuaciones cuadráticas, tomado de:

http://brigida01.weebly.com/marco-teorico.html

GRANDES MATEMATICOS QUE APORTARON AL TEMA DESDE LA ANTIGUIEDAD

En esta lista de matemáticos importantes se presenta una selección de matemáticos desde la antigüedad hasta el presente. La selección se orienta por los aportes científicos, utilizando como criterio para definir el grado de notoriedad la atención que se les brinda en escuelas y universidades cuando se trata de la historia de la matemática.
Hasta ya muy avanzada la época del renacimiento, la mayoría de los matemáticos se dedicaban a varias ciencias diferentes. Con frecuencia eran al mismo tiempo filósofos, ingenieros, astrónomos y astrólogos. El polimatismo cedió con el transcurso de los siglos, de modo que en la época del racionalismo era usual que los mátematicos estudiaran y practicaran solo una segunda ciencia adicional. Mayoritariamente, y debido al parentesco temático, escogían la física como segunda ciencia o campo de ocupación. A partir del siglo XIX este desarrollo con tendencia a la especialización continuó, de modo que en la actualidad es más frecuente que los matemáticos solo investiguen en unas pocas ramas o áreas parciales de la matemática.

	Nombre (y datos biográficos)	Área de investigación
	Tales de Mileto c. 624 a. C. en Mileto, Asia Menor c. 546  a. C.1	Tales fue un filósofo griego, estadista, matemático, astrónomo e ingeniero. Según se señala en los escritos conservados, Tales habría demostrado teoremas geométricos sobre la base de definiciones y premisas con ayuda de reflexiones sobre la simetría. Tales aspiraba a encontrar una explicación racional del universo. El teorema sobre la proporcionalidad de los segmentos correspondientes al cortar rectas concurrentes por líneas paralelas se llama teorema de Tales en su honor.
	Pitágoras de Samos c. 570 a. C. después de 510 a. C.	Pitágoras de Samos fue matemático, filósofo y fundador de la agrupación secreta de los pitagóricos. El teorema de Pitágoras, llamado así por Euclides, ya era conocido con mucha anterioridad a Pitágoras.
	Eudoxo de Cnidos 410 o 408 a. C. 355 o 347 a. C.	Eudoxo fue un matemático, astrónomo, geógrafo y médico griego. Clasificó los conceptos de número, longitud, dimensión espacial y temporal y estableció los fundamentos para la teoría de la proporción. Su teoría de la proporción ya contenía el axioma de Arquímedes o «axioma de continuidad»2 y anticipaba resultados del comportamiento de los irracionales. Desarrolló el método de exhaución y determinó el volumen de la pirámide y del cono.
	Euclides de Alejandría c. 365 a. C. probablemente en Alejandría o Atenas c. 300 a. C.	Euclides intentó establecer la matemática, y especialmente la geometría, sobre fundamentos axiomáticos. En su manual de 13 volúmenes «Los Elementos» resumió el conocimiento matemático de aquel entonces. La geometría euclidiana o euclídea y el algoritmo de Euclides son conceptos que se denominan así en su honor.
	Arquímedes de Siracusa c. 287 a. C. probablemente en Siracusa, Sicilia 212 a. C. también en Sicilia	Arquímedes fue un matemático, físico e ingeniero griego, considerado el más importante de los matemáticos de la antigüedad. Demostró que la circunferencia de un círculo mantiene la misma relación respecto de su diámetro que la superficie del círculo respecto del cuadrado del radio. La relación se denomina hoy en día con el número pi (π). Además calculó la superficie bajo una parábola. El principio de Arquímedes se llama así en su honor.
	Apolonio de Perge 262 a. C. en Perge 190 a. C. en Alejandría	En Κωνικά («Cónicas»), su obra más importante acerca de las secciones de un cono, Apolonio de Perge se dedicó a investigar detenidamente la problemática de las secciones cónicas, determinación de los extremos y de los límites de una sucesión. Entre otros, el círculo de Apolonio se denomina así en su honor.
	Diofanto de Alejandría Fechas de nacimiento y muerte desconocidas entre 100 a. C. y 350 a. C.	Diofanto de Alejandría fue un matemático griego sobre quien se conservan muy pocos datos biográficos. Sin embargo, se sabe bastante más sobre sus obras, donde la más conocida es la Aritmética en varios volúmenes.3 Se dedicó a la búsqueda de soluciones de ecuaciones algebraicas con varias incógnitas. Hoy día se denominan ecuaciones diofánticas a las ecuaciones algebraicas para las que se busca una solución dentro del conjunto de los números enteros.
	Herón de Alejandría Fechas exactas de nacimiento y muerte desconocidas vivió probablemente entre 200 a. C. y 300 a. C.	Herón de Alejandría fue un destacado matemático e ingeniero griego. Desarrolló un procedimiento que lleva su nombre para el cálculo de raíces cuadradas y la fórmula de Herón, la que permite calcular la superficie de un triángulo conociendo la longitud de sus lados.
	Liu Hui ca. 220; ca. 280])	Liu Hui (劉徽) fue un matemático chino. Vivió en el período del reinado Wei y se le conoce por haber escrito una serie acerca de matemáticas para la vida cotidiana. La obra (que consta de nueve libros) se publicó en el año 263.4 5 Entre sus aportes más destacados se cuentan: el cálculo del número π a través de la inscripción de polígonos regulares en un círculo (propuso una aproximación de 3,14); la solución de sistemas de ecuaciones lineales a través de un procedimiento que corresponde buena medida al que más tarde se denomina procedimiento de eliminación de Gaus y el cálculo del volumen del prisma, el tetraedro, la pirámide, el cilindro, el cono y el tronco cónico. También escribió en 263 el Haidao suanjing (Manuel matemático de las islas marinas) que contiene métodos para la medición de terrenos y que se utilizó con este fin durante más de un milenio en el lejano oriente.6

Referencias:
wikipedia la enciclopedia libre, tomado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Matem%C3%A1ticos_importantes 



    

ENLACES

En esta sección encontraran enlaces de videos, al tema referente de ecuaciones cuadraticas:

En prezzi:
tomado de:
https://prezi.com/4hv9jr6qymn5/solucion-de-ecuacion-cuadratica-completa/

En youtube:
 ecuacion cuadratica, tomado de:
https://www.youtube.com/watch?v=RFCOUQxTjEc

método de despeje con ecuaciones cuadraticas, tomado de:
https://www.youtube.com/watch?v=xH9kwYgymM4

- Little Writer 1D

Publicado el 23 may. 2017

Método de Despeje con Ecuaciones Cuadraticas

https://www.youtube.com/watch?v=RFCOUQxTjEc 

- Any Meza

Publicado el 14 feb. 2016

ecuación cuadratica, tomado de:

https://www.youtube.com/watch?v=RFCOUQxTjEc

CURIOSIDADES

CRUCIGRAMA

 SOPA DE LETRAS

ANTENAS PARABÓLICAS

¿Por qué las antenas parabólicas se construyen de esa forma? Si se las orienta en una dirección, todas las ondas que llegan hasta las paredes de la parábola desde un objeto lejano, que esté  en esa dirección, se reflejan y se juntan en un punto llamado foco; así se aprovecha mejor. Este principio es el que sirve para construir antenas de televisión en forma de parábola y con el receptor de ondas justamente en el foco.

Si echamos un vistazo las fachadas y azoteas están llenas de antenas parabólicas. El nombre no es casual. Si hacemos un corte longitudinal en cualquiera de ellas lo que obtenemos es una curva llamada parábola. Esta curva que estudiamos tiene una peculiaridad más que útil: todos los rayos paralelos al eje de la parábola que inciden en ella se reflejan pasando por un único punto, el foco. Esto convierte la figura en ideal para una antena ya que las múltiples señales que se reciben, aunque sean débiles, se concentran en este punto en el que se ubica el receptor.

FAROS DE COCHES

Esta misma propiedad sirve para construir los faros de un coche. La luz se coloca en el faro y los rayos que se reflejan en las paredes forman un haz paralelo al eje que nos permite ver en la oscuridad.

ESPEJOS PARABÓLICOS

Ya los científicos de la antigüedad conocían y usaban parábolas. Arquímedes, en el asedio de Siracusa durante los años 212 y 213 a.C. utilizó espejos parabólicos para destruir las naves romanas, de forma que los rayos del Sol, al reflejarse convergiesen en las velas de los barcos.      
Esto que contamos se traduce en los polinomios de segundo grado y cuando resolvemos ecuaciones de segundo grado lo único que hacemos es encontrar puntos especiales de estas fantásticas cónicas.

Aplicaciones prácticas

Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco.

Las aplicaciones prácticas son muchas:

     Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.

     La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.

     Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnw0NzVmdW5jaW9uY3VhZHJhdGljYXxneDozOTYyODRkNjgzNTEzMTA5

https://www.youtube.com/watch?v=Ww41hfTaMz0